某单位准备举办一年一度的春季运动会:数学建模课程设计试题及要求

数学模型课程设计要求

　　　　1. 三人为一组完成一个题目。

　　　　2. 答题时可以使用任何外部资源（如图书馆、计算机、软件包、

　　　　书籍等），但不可以与本组外的人商量。

　　　　3. 答题时间：2009年6月15日—2009年6月21日.

　　　　4. 答卷以科研论文的形式提交，论文内容大体包括：300字左右的摘要，问题重述与分析（或引言），假设，建模，求解，分析，检验（模拟仿真），参考文献等。

　　　　5．论文书写格式如下

　　　　论文书写格式的若干规定

　　　　一 论文封面的规定：

　　　　论文的封面使用统一的封面样式（见下页），A4大小。

　　　　二 论文书写格式纸张的规定

　　　　论文（指摘要和正文），小四宋体，1.25倍行距，用A4纸打印。

　　　　三 论文的摘要：

　　　　1. 论文的第一部分必须是论文摘要（300字左右的摘要），用单独一页书写，放在封面后正文前。

　　　　2. 摘要中把论文的主要内容及特点充分表达出来。

　　　　四 论文主要部分的内容：

　　　　1. 要阐述题目，假设，分析，建模，解模和结果的全过程。

　　　　2. 对模型的检验及模型的优缺点和发展前景也要有所表述。

　　　　五 论文附加部分的内容：

　　　　1. 有关计算过程的详细资料（例如程序和图表等）。

　　　　2. 作者认为需要交代的其他资料（例如参考文献等）。

　　　　六 论文打印要求：

　　　　论文打印稿要求有课程设计封面，和论文正文两部分。

　　　　注：论文要同时交书面和电子版的！

　　　　资料查询方式

　　　　1. 图书馆数字书查阅

　　　　2. 外部资源利用（Google搜索，其它学校网站）

　　　　2008-2009第二学期

　　　　数学建模课程设计

　　　　2009年6月15日－6月21日

　　　　题目

　　　　第 组 组员1 组员2 组员3

　　　　姓名

　　　　学号

　　　　专业

　　　　成绩

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目1：报童的最佳定货策略

　　　　报童每天清晨从报社购进大量各种不同类型报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．由于顾客对各种类型报纸的喜好不同，常常碰到以下问题：

　　　　如果报纸购进太少，有些报纸会脱销，那么报童将会少赚钱；如果购进太多，有些报纸买不完，那么报童退回报纸将要赔钱．

　　　　为了解决这个问题，报童需要考虑不同类型报纸搭配的最佳订货策略。问题

　　　　（1）请你为报童筹划一下，制定一种最佳的订购方案，使报童赢得最大的利润．

　　　　（2）假设报童每天投入的资金设为定值S，那么在资金一定的条件下，制定最佳的订购方案，使报童赢得最大的利润．

　　　　（3）自己设计或调查一组数据对模型进行检验。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目2：举重问题

　　　　运动员在高度和体重方面差别很大，为了在举重比赛中对此做出补偿，规定要从运动员举起的重量中减去其体重,以下是1996年奥林匹克运动会上优胜者的举重成绩：

　　　　级别 最大体重（千克） 抓举（千克） 挺举（千克） 总重量（千克）

　　　　1 54 132.5 155.0 287.5

　　　　2 59 137.5 170.0 307.5世界记录

　　　　3 64 147.5 187.5 335.0

　　　　4 70 162.5 195.0 357.5世界记录

　　　　5 76 167.5 200.0 367.5

　　　　6 83 180.0 212.5 392.5世界记录

　　　　7 91 187.5 213.0 402.5

　　　　8 99 185.0 235.0 420.0世界记录

　　　　9 108 195.0 235.0 430.0

　　　　10 超过108 197.5 260.0 457.5

　　　　1. 这个规定暗示了什么关系，结合上表说明这种关系。

　　　　2. 已经提出的生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例，利用这个强度子模型，建立一个表示举重能力和体重之间关系的模型，列出所有的假设,用所提供的数据来检验你的模型。

　　　　3. 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关的，提出一个把这种改进融合进去的模型，并讨论两个模型各自的优缺点，然后提出一种经验法则，对不同体重的举重运动员设定障碍，使得比赛受体重因素的影响较小，从而更加公平。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目3：道路改造项目中碎石运输的设计

　　　　在一平原地区要进行一项道路改造项目，在A，B之间建一条长200km，宽15m，平均铺设厚度为0.5m的直线形公路。为了铺设这条道路，需要从S1，S2两个采石点运碎石。1立方米碎石的成本都为60元。（S1，S2运出的碎石已满足工程需要，不必再进一步进行粉碎。）S1，S2与公路之间原来没有道路可以利用，需铺设临时道路。临时道路宽为4m，平均铺设厚度为0.1m。而在A，B之间有原来的道路可以利用。假设运输1立方米碎石1km运费为20元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时，平均运输1立方米碎石1km运费为6元；逆流时，平均运输1立方米碎石1km运费为10元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一个临时码头需要用10万元。

　　　　建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：

　　　　A（0,100），B（200,100），s1(20,120)，s2(180,157)。

　　　　河与AB的交点为m4(50,100) （m4处原来有桥可以利用）。河流的流向为m1→m7，m4的上游近似为一抛物线，其上另外几点为m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。

　　　　桥的造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。

　　　　此地区没有其它可以借用的道路。

　　　　为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需要建临时码头，都在何处建；从s1，s2所取的碎石量各是多少；指出你的方案的总费用。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目4: 投篮问题

　　　　在篮球比赛中，比赛队员投篮命中率对于本队的取胜起着决定性作用。根据经验，影响投篮的命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度，投篮时出手角过低或过高都不好。篮球场、篮板及球篮如图1、图2、图3所示。

　　　　（1）在各种投篮方式中，罚球投篮是最简单也是很重要的投篮方式。假设罚球投篮不考虑球出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，在此情况下，站在罚球线上怎样罚球才能命中率高。

　　　　（2）考虑篮球擦板后进篮的情况，试就在限制区边线上距篮框中心30度、45度、90度（罚球线）位置上出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系进行讨论。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目5：超额录取留学生的策略

　　　　众所周知，选择出国留学学生越来越多。不可避免的，他们需要向国外的大学提出申请，同时需要交纳一定金额的申请费。如果你所申请的学校给你发来“offer”，并且你顺利地通过签证，你就可以预订机票了。

　　　　通常说来，国外学校录取留学生的数量A由该校提供给留学生奖学金的经费数决定。但是，出于以下的原因：

　　　　（1）得到“offer”的学生出于自身的原因（比如收到多封“offer”），未去报到；

　　　　（2）得到“offer”的学生未能顺利拿到签证。发出“offer”的数量B往往要多于录取留学生的数量A。但是不同的学校面临的情况并不相同，也许收到一所知名学校“offer”的人中，90%的人都会去，而去一所普通学校的人可能不到50%。由于经费有限，如果报到的学生太多，学校往往没有太多的办法。因此，发出“offer”需要一定的策略。

　　　　当前的情况为：

　　　　学生从一个学校调到另一个学校的情形越来越少。

　　　　学生出于各自的偏好，不愿意更换学校。

　　　　签证被拒的比例在上升。

　　　　所有学校都必须先交申请费，再决定是否考虑发放offer。

　　　　问题：

　　　　（1）如果奖学金经费C确定，学校该发多少封“offer”？给出最佳方案。

　　　　（2）如果你是一个学生，考虑到申请过程中的所有费用，（申请的学校越多，费用越高），同时还能去一个理想的学校，你应该向多少个学校提出申请？

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目6：高考志愿选择策略

　　　　一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个数学模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。

　　　　假设每个考生可填写四个志愿。现有北京甲、上海乙、成都丙、重庆丁四所大学。

　　　　考生通过网上信息初步考虑因素重要性主观数据如下表

　　　　 相关权数 北京甲 上海乙 成都丙 重庆丁

　　　　校誉 名校自豪感 0.22 0.75 0.7 0.65 0.6

　　　　 录取风险 0.198 0.7 0.6 0.4 0.3

　　　　 年奖学金 0.024 0.6 0.8 0.3 0.7

　　　　 就业前景 0.133 0.8 0.7 0.85 0.5

　　　　生活环境 离家近 0.061 0.2 0.4 1 0.8

　　　　 生活费用 0.064 0.7 0.3 0.9 0.8

　　　　 气候环境 0.032 0.5 0.6 0.8 0.6

　　　　学习环境 专业兴趣 0.132 0.4 0.3 0.6 0.8

　　　　 师资水平 0.034 0.7 0.9 0.7 0.65

　　　　可持续发展 硕士点 0.064 0.9 0.8 0.75 0.8

　　　　 博士点 0.030 0.75 0.7 0.6 0.5

　　　　经过建模计算，给出志愿排序的合理决策。（本题完）

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目7：服务机构劳务安排的优化设计

　　　　在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有显著的不同。例如，交通管理人员、医院医护人员、宾馆服务人员、超市卖场营销人员等。在不同的时段劳务需求量不同，主管单位在不同时段支付的劳务工资往往也不同。因此对于既要满足需要，又要尽量节约劳务开支是管理者必须思考的决策问题。现就某公司超市卖场营销人员工作安排问题建立一个数学模型来进行优化设计，使得既要满足公司超市卖场需要，又使公司的劳务开支最少。

　　　　超市卖场的营业时间是上午8点到21点，以两小时为一时段，各时段内所需的服务人员数如表1，每个营销人员可在任一时段开始时上班，但要连续工作8小时，中途需要1小时的吃饭和休息时间。为保证营业

　　　　时间内都有人值班，公司安排了四个班次，其班次与休息时间安排如表2，在不同时段的工资标准不同，上午8点到17点工作的人员月工资为1200元，中午12点到21点工作的人员月工资为1500元。

　　　　序号 时间区间 最少需求人数

　　　　1 8：00－10：00 30

　　　　2 10：00－12：00 35

　　　　3 12：00－14：00 20

　　　　4 14：00－16：00 40

　　　　5 16：00－18：00 30

　　　　6 18：00－20：00 25

　　　　7 20：00－21：00 20

　　　　表2

　　　　班次 工作时间 休息时间 月工资

　　　　1 8：00－17：00 12：00－13：00 1200

　　　　2 8：00－17：00 13：00－14：00 1200

　　　　3 12：00－21：00 16：00－17：00 1500

　　　　4 12：00－21：00 17：00－18：00 1500

　　　　进一步讨论对8点至17点和12点至21点分别安排更多的班次其劳务支出的变化。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目8：人类的演化

　　　　 观察地球生物发展的大历史，似乎看得出来，有些原始生物演化速度很慢，几千万年来表面都没有改变，至今仍然存在，例如银杏树，腔棘魚、鱟等生物，称为活化石。据此推论越早期的生物若是演化的越慢，其生存的年代越长。假设平均而言，随生物种类的不同，一种生物会以每百万年累积0.5--1000个致死基因，当致死基因累积达3000个以上，其灭绝的概率会超过0.75，当致死基因累积达5000个以上，其灭绝的概率会超过0.95。据此而言，人类（智人，Homo sapiens约2-3万年前出现，是很晚才出现的物种）未来的演化速度如何？何时该灭绝？请建立一个数学模型来讨论上述问题。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目9：火车弯道缓和曲线问题

　　　　火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心力F，在轨道的直道与弯道（圆弧）的衔接部，列车受到的离心力由零突变到F，会损坏线路和车辆，并使乘车人感到不适，甚至发生危险。为此火车轨道在弯道处采取“外轨超高”的办法，即把弯道上的外轨抬高一定高度，使列车倾斜，这样产生的向心力抵消部分离心力，以保证列车安全运行。为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从零均匀地增大到F，外轨超高也从零逐渐增大到h。所加曲线称为缓和曲线。

　　　　现有一处铁路弯道，原转弯半径R=400m，适应列车时速 120km∕h。由于火车提速，要求将此弯道改为适应列车时速200 km∕h，并要求将原长200 m的缓和曲线一并进行改造。试讨论下面问题：

　　　　（1）求缓和曲线方程。

　　　　（2）若要求外轨超高不改变，缓和曲线应如何改造？

　　　　（3）若外轨超高可以改变，缓和曲线又应如何改造？

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目10：人力资源安排问题

　　　　“pe公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。

　　　　表1 公司的人员结构及工资情况

　　　　 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员

　　　　人 数

　　　　日工资（元） 9

　　　　250 17

　　　　200 10

　　　　170 5

　　　　110

　　　　目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在a地和b地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在c地和d地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。

　　　　表2 不同项目和各种人员的收费标准

　　　　 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员

　　　　收费

　　　　（元/天） a

　　　　b

　　　　c

　　　　d 1000

　　　　1500

　　　　1300

　　　　1000 800

　　　　800

　　　　900

　　　　800 600

　　　　700

　　　　700

　　　　700 500

　　　　600

　　　　400

　　　　500

　　　　为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示：

　　　　表3：各项目对专业技术人员结构的要求

　　　　 a b c d

　　　　高级工程师

　　　　工程师

　　　　助理工程师

　　　　技术员

　　　　总计 1～3

　　　　≥2

　　　　≥2

　　　　≥1

　　　　≤10 2～5

　　　　≥2

　　　　≥2

　　　　≥3

　　　　≤16 2

　　　　≥2

　　　　≥2

　　　　≥1

　　　　≤11 1～2

　　　　2～8

　　　　≥1

　　　　≤18

　　　　说明：

　　　　 表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符号的同理；

　　　　 项目d，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；

　　　　 高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；

　　　　 各项目客户对总人数都有限制；

　　　　 由于c、d两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。

　　　　由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目11：客房预订的价格和数量

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目12：飞越北极

　　　　 今年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：

　　　　 7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。

　　　　假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：

　　　　A1 (北纬31度，东经122度)； A2 (北纬36度，东经140度)；

　　　　A3 (北纬 53度，西经165度)； A4 (北纬62度，西经150度);

　　　　A5 (北纬 59度，西经140度)； A6 (北纬 55度，西经135度)；

　　　　A7 (北纬 50度，西经130度)； A8 (北纬 47度，西经125度)；

　　　　A8 (北纬 47度，西经122度)； A10 (北纬 42度，西经87度)。

　　　　请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：

　　　　（1） 设地球是半径为6371千米的球体；

　　　　（2） 设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目13：货物运输问题

　　　　如图1，同心圆（圆心为O）中间环带为湖水，小圆内为湖心岛，大圆外为陆地。已知小圆、大圆半径分别为R (km)，2R (km)，陆地两个城市A，B与码头C，D，E，F及O在一条直线上，且两个城市到湖边最近距离均为R (km)，现有物资从A地运往B地，陆地运费、水路运费、岛路运费分别为m、p、q （元/ kg•km）。

　　　　问题1：不考虑修路与装卸费（比如长期、大批量运输），选择怎样的运输路线才能使运费最低，最低值是多少元？

　　　　例如，若m = p = q，则修路及运输路线选择A→C→E→O→F→D→B

　　　　问题2：修路费s（元/km）,装卸费z（元/ kg•km）,货物总运量M kg，讨论问题1。

　　　　 A

　　　　 R

　　　　 C

　　　　 E

　　　　 R

　　　　 陆 湖 岛 O

　　　　 2R

　　　　 F

　　　　 R D

　　　　 B

　　　　图1. 城区位置图

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目14：降落伞的选择问题

　　　　为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长L共16根绳索连接的重m位于球心正下方球面处，如下图：

　　　　每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用 由伞的半径r决定，见下表；绳索费用 由绳索总长度及单价4元/米决定，固定费用 为200元。

　　　　r 2 2.5 3 3.5 4

　　　　C1 65 170 350 660 1000

　　　　 降落伞在降落过程中除受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用的半径 ，载重 的降落伞从 高度作降落试验，测得各个时刻的高度 ，见下表。

　　　　t(s) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

　　　　x(m) 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1

　　　　试确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大(在给定的半径的伞中选)，在满足空投要求的条件下，使费用最低。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目15：南水北调”水的分配

　　　　南水北调中线工程建成后，预计2010年的调水量为110亿立方米，主要用来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线20个大中城市的用水。用水指标的分配原则是：改善城市环境、促进经济发展、提高用水效益和人民生活水平。生活用水、工业用水和综合服务业用水的分配比例分别为40％、38％和22％。下表是2000年各城市基本状况的统计数据，可以看出，各城市的人口数量差异很大，各城市的生活、工业和综合服务业的用水情况不同，相同的供水量所产生的经济效益也不同。

　　　　城市

　　　　序号 城市人口 工业产值 综合服务业

　　　　产值 人均生活用水量

　　　　(m3) 万元工业增加值用水量

　　　　(m3) 万元综合服务业用水量(m3)

　　　　 总数

　　　　(万人) 年自然增长率(‰) 增加值

　　　　(亿元) 年增长率

　　　　(%) 人均产值(万元) 年增长率

　　　　1 1285 2.04 737 11.1 1.16 13.2 160 143 354

　　　　2 682 3.03 739 11.7 0.83 12.2 140 72 209

　　　　3 56 9.15 193 10.0 0.30 10.0 180 102 245

　　　　4 87 5.90 268 12.5 0.23 12.1 360 96 325

　　　　5 46 5.87 480 9.8 0.22 8.6 315 110 185

　　　　6 78 6.12 256 7.6 0.20 7.6 318 120 178

　　　　7 218 5.41 464 10.2 0.44 11.8 235 86 267

　　　　8 52 4.50 189 10.9 0.15 12.0 315 131 165

　　　　9 81 3.69 721 10.0 0.22 11.4 320 126 230

　　　　10 83 6.61 110 6.9 0.16 11.7 310 186 320

　　　　11 42 8.00 36 9.6 0.18 12.3 320 210 220

　　　　12 41 6.10 97 8.7 0.14 13.5 352 170 174

　　　　13 72 6.01 104 10.3 0.22 8.9 280 205 160

　　　　14 128 6.92 67 8.0 0.18 9.4 310 180 250

　　　　15 220 5.12 310 12.9 0.53 10.2 220 88 164

　　　　16 78 6.56 72 11.1 0.17 9.2 320 210 180

　　　　17 90 6.61 114 8.8 0.18 8.4 310 189 155

　　　　18 32 6.44 106 10.0 0.12 11.3 340 210 165

　　　　19 58 4.60 83 9.0 0.15 10.3 280 200 148

　　　　20 121 5.90 211 10.4 0.13 8.8 320 180 202

　　　　全国平均 10.7 9.9 0.23 7.8 219 610 288

　　　　请你从保障人民生活用水和经济发展的角度，给出2010年的调水量的分配方案。应注意到，每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在10年内无限增长，要适当照顾各城市经济发展的均衡

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目16：铅球投掷模型

　　　　众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

　　　　在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？

　　　　哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。

　　　　参考数据资料如下：

　　　　表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩

　　　　姓名 出手速度

　　　　出手高度

　　　　出手角度

　　　　实测成绩

　　　　李梅素 13.75 1.90 37.60 20.95

　　　　李梅素 13.52 2.00 38.69 20.30

　　　　斯卢皮亚内克 13.77 2.06 40.00 21.41

　　　　表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据

　　　　姓名 成绩s(m) 出手速度

　　　　出手角度

　　　　出手高度

　　　　李梅素 19.40 13.16 40.27 2.02

　　　　李梅素 20.30 13.51 38.69 2.00

　　　　黄志红 20.76 13.58 37.75 2.02

　　　　隋新梅 21.66 13.95 39.00 2.04

　　　　李梅素 21.76 14.08 35.13 1.95

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目17：抢渡长江

　　　　“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头。2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。

　　　　假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。

　　　　请回答下面的问题:

　　　　若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ：

　　　　游泳者以1.5米/秒的速度全程保持不变，他为了取得好成绩，选择游泳方向应偏向上

　　　　的江面游泳方向为c . 确定一个量 ，称它为步长（步长越小越好），例如取

　　　　 =10°. 这样角a . b . c 就可以分别取如下6个数中的任何一个：

　　　　 0+0 =0°，0+1 =10°，0+2 =20°，0+3 =30°，0+4 =40°.0+5 =50°.

　　　　若取a=10°, b=10°, c=10°, 即游泳方向始终保持偏向上游10°，这时可以算出

　　　　游泳者从起点到终点所用的时间。a . b . c 取不同的值，起点到终点所用的时间也

　　　　不同。比较出a . b . c 的哪一种组合使得时间最少，这就是最佳的游泳方向。（要

　　　　求游泳者必须在终点上岸）

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目18：按揭还款

　　　　银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法．有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱．所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清．

　　　　1．请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有无好坏之分；

　　　　2．是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论；

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目19：医疗保障基金额度的分配

　　　　某集团下设四个子公司：子公司A、子公司B、子公司C和子公司D。各子公司财务分别独立核算。每个子公司都实施了对雇员的医疗保障计划，由各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。过去的统计数据表明，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。四个子公司各年度的医疗费用支出见表1。

　　　　为进一步规范各个子公司的医疗保障计划，集团董事会规定，在2003年底,各个子公司均需以银行活期存款的方式，设立医疗保障基金，基金专门用于支付2004年度雇员的医疗费用。 并规定每个子公司的医疗保障基金只能用于支付本子公司雇员。已知2004年银行活期存款利率为1%。

　　　　董事会综合考虑了各种因素，确定本集团设立的2004年度医疗保障基金的总额度为80万元，这一额度在四个子公司之间分配。对于各子公司，如果2004年度总的医疗费用支出低于该子公司的医疗保障基金的额度， 则雇员可以及时得到医疗方面的保障。 而如果总的医疗费用超过了医疗保障基金的额度， 则子公司需要通过其他渠道来筹措超出部分的额度。这会导致某些雇员无法及时报销医疗费用。

　　　　 试确定80万元医疗保障基金在四个子公司之间的分配方案，并论证方案优良性。 表2给出了相关年度

　　　　的通货膨胀指数。

　　　　表2—通货膨胀指数

　　　　日期 通货膨胀指数 日期 通货膨胀指数

　　　　1980年1月1日 100 1992年1月1日 181

　　　　1981年1月1日 105 1993年1月1日 182

　　　　1982年1月1日 115 1994年1月1日 189

　　　　1983年1月1日 128 1995年1月1日 191

　　　　1984年1月1日 130 1996年1月1日 197

　　　　1985年1月1日 140 1997年1月1日 200

　　　　1986年1月1日 150 1998年1月1日 210

　　　　1987年1月1日 151 1999年1月1日 211

　　　　1988年1月1日 152 2000年1月1日 215

　　　　1989年1月1日 160 2001年1月1日 217

　　　　1990年1月1日 175 2002年1月1日 219

　　　　1991年1月1日 180 2003年1月1日 226

　　　　注：2003年1月1日的通货膨胀指数为226，是指在1980年1月1日价格为100元的物品，在2003年1月1日价格为226元。

　　　　表1：公司A、公司B、公司C 和公司D的医疗费用支出（单位：万元）

　　　　年度 公司A 公司B 公司C 公司D

　　　　1980 8.28 8.81 8.02 10.50

　　　　1981 8.76 9.31 8.36 10.76

　　　　1982 9.29 10.41 9.20 11.34

　　　　1983 10.73 11.61 10.51 12.89

　　　　1984 10.88 11.39 10.70 13.20

　　　　1985 11.34 12.53 11.20 14.24

　　　　1986 11.97 13.58 13.01 14.90

　　　　1987 12.02 13.70 13.24 15.28

　　　　1988 12.16 13.32 13.82 15.20

　　　　1989 12.83 14.32 14.74 16.96

　　　　1990 13.90 15.84 17.33 19.23

　　　　1991 14.71 14.67 18.50 20.99

　　　　1992 16.11 14.99 17.72 23.22

　　　　1993 16.40 14.56 18.45 23.19

　　　　1994 17.07 14.55 19.77 24.04

　　　　1995 16.96 14.80 19.56 23.72

　　　　1996 16.88 15.41 19.70 24.88

　　　　1997 17.20 15.76 20.52 27.34

　　　　1998 19.87 16.76 22.51 28.12

　　　　1999 20.19 17.68 23.10 28.38

　　　　2000 20.00 17.33 23.24 28.81

　　　　2001 19.81 17.03 23.22 26.71

　　　　2002 19.40 16.95 23.76 19.82

　　　　2003 20.48 16.66 24.50 20.48

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目20： 人民币汇率与经济

　　　　近年来，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的影响。一些学者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些学者希望稳定人民币的汇率。试建立数学模型，解决下列问题：

　　　　1．以英镑汇率为例，考察汇率与贸易额的线性关系，并据此说明汇率的变 化对英国经济的影响；

　　　　2．利用人民币汇率与主要货币（如英镑、日元、欧元等）的汇率关系，

　　　　探讨人民币汇率在什么范围内变化比较有利于我们经济持续、健康发展。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目21：追赶问题

　　　　如图：有一只猎狗在B点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它200m的地方O处，此时兔子开始以8m/s的速度正向正西北方向，距离为120m的洞口A全速跑去. 假设猎狗在追赶兔子的时候，始终朝着兔子的方向全速奔跑，回答下面的问题：

　　　　⑴ 猎狗能追上兔子的最小速度是多少？

　　　　⑵ 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？

　　　　⑶ 假设猎狗在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30m时，兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半，而猎狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加0.1倍，在这种情况下回答前面两个问题.

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目22：最佳捕鱼方案

　　　　一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商，水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。 据估计水库内尚有草鱼25000余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和， 捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。 承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？请你建立相关模型求解，给出最佳答案。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目23：最佳广告费用及其效应

　　　　某装饰材料公司以每桶2元的价钱购进一批彩漆，为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王先生进行咨询。李经理认为，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算（见表1）。他问王先生广告有多大效应。王先生说：“投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。例如，投入3万元的广告费，销售增长因子为1.85，即销售量将是预期销售量的1.85倍。据经验，广告费与销售增长因子的关系有表2。”李经理听后，迫切想知道最佳广告费和售价为多少时预期的利润最大，试经过计算给出解答。

　　　　表1 售价与预期销售量表 2 广告费与销售增长因子

　　　　售价 预期销售量

　　　　2 41

　　　　2.5 38

　　　　3 34

　　　　3.5 32

　　　　4 29

　　　　4.5 28

　　　　5 25

　　　　5.5 22

　　　　6 20

　　　　广告费 销售增长因子

　　　　0 1.0

　　　　10000 1.4

　　　　20000 1.7

　　　　30000 1.85

　　　　40000 1.95

　　　　50000 2.0

　　　　60000 1.95

　　　　70000 1.8

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目24：军用设备的海中投放

　　　　军用设备的海中投放 军方需要用轰炸机定点空投一军用球型设备到某海域，飞机速度为100米/秒，球型设备半径为0.1米，密度为0.85，当地海水密度为1.03，若此设备在水中的摩擦力与速度相反，且成正比，比例系数=0.5公斤.秒/米，（ g = 9.8 ）。 （1）、军方希望球型设备不要落入比65米还深的海水里，请你分析飞机当时应飞行的高度。 （2）、军方也关心球型设备停在海面上时的位子，请你给出。 （3）、描述球型设备的轨迹特征，并给出球型设备的一种轨迹图。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目25：农场计划

　　　　英国某农场主有200英亩土地的农场，用来饲养奶牛。现要为五年制定生产计划。现在他有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛，但他手上已无现金，且欠别人帐20000英镑须尽早用利润归还。每头幼牛需用2/3英亩土地供养，每头奶牛需用1英亩。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，出生后不久即卖掉，平均每头卖30英镑；另一半为母牛，可以在生出后不久卖掉，平均每头40英镑，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就要卖掉，平均每头卖120英镑。现有的20头幼牛中，0岁和1岁各10头；100头奶牛中，从2岁至11岁各有10头。应该卖掉的小牛都已卖掉。所有20头要饲养成奶牛。 一头牛所产的奶提供年收入370英镑。现在最多只能养160头牛，超过此数每多养一头，每年要多花费90英镑。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每英亩产甜菜1.5吨。只有80英亩的土地适合于种粮食，且产量不同。按产量可分作4组：第一组20英亩，亩产1.1吨；第二组30英亩，亩产0.9吨；第三组20英亩，亩产0.8吨；第四组10英亩，亩产0.65吨。从市场购粮食每吨90英镑，卖粮食每吨75英镑；买甜菜每吨70英镑，卖甜菜每吨50英镑。养牛和种植所需劳动量为：每头牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一英亩粮食每年须4小时；种一英亩甜菜每年须14小时。 其他费用：每头幼牛每年50英镑；产奶牛每头每年100英镑；种粮食每亩每年15英镑；种甜菜每亩每年10英镑；劳动费用现在每年为6000英镑，提供5500小时的劳动量。超过此数的劳动量每小时费用为1.80英镑。 贷款年率10%，每年货币的收支之差不能为负值。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末较现在减少超过50%，也不希望增加超过75%。 应如何安排5年的生产，使收益最大？

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目26：住房贷款问题

　　　　年初由中国建设银行北京市分行印发的《个人住房贷款简介》的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题。其中指明贷款最高金额为拟购买住房费用的70%；贷款期限最长为20年。个人住房贷款利率如附表1所示。借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。附表2中列出了在不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和。试给出公式说明附表2中后三列数是如何算出来的。

　　　　 近来经国务院批准，中国人民银行决定从1999年9月21日起，延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房。各商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的20年延长到30年。每笔贷款年限由商业银行根据个人的年龄、工作年限、还款能力等因素与借款人协商确定。个人住房贷款年利率最高水平降为5.58%，并根据贷款期限划分为两个档次：5年以下（含五年）为年利率5.31%，五年以上为年利率5.58%

　　　　 请你根据新规定计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和，并与原附表2中的同期贷款的负担情况比较，住房贷款的负担各降低了多少。

　　　　附表1：中国建设银行北京市分行个人住房贷款利率表

　　　　贷款期 1年（含） 1～3年（含） 3～5年（含） 5～10年（含） 10～20年（含）

　　　　月利率（‰） 5.10 5.325 5.55 6.00 6.30

　　　　年利率（%） 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56

　　　　附表2：中国建设银行北京市分行个人住房贷款1～20年月均还款金额表（借款金额为一万元）单位：元

　　　　贷款期限（年） 年利率（%） 还款总额 利息负担总和 月均还款总额

　　　　1 6.12 10612.00 612.00 一次还本付息

　　　　5 6.66 11784.60 1784.60 196.41

　　　　20 7.56 19423.20 9423.20 80.93

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目27：大象群落的稳定发展

　　　　位于非洲某国的国家公园中栖息这近11000头象。管理者要求有一个健康稳定的环境一边维持这个11000头象的稳定群落。管理者逐年统计了象的数量，发现在过去的20年中，整个象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的。

　　　　近年来，偷猎被禁止，并且每年要转移是些象也比较困难，因此，要控制现的数量就使用了一种避孕注射法。用这种方法注射一次可以使得一头成熟母象在两年内不会受孕。

　　　　目前在公园中已经很少发生移入和移出象的情况。象的性别比也非常接近于1：1，且采取了措施精良维持这个性别比。欣赏的幼象的性别比也在1：1左右。而双胞胎的机会接近于1.35%。

　　　　母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕，平均美3.5年产下一个幼象，直到60岁左右为止。每次怀孕期未22个月。注射避孕药会使母象每月发情，但不会怀孕。象通常在3.5年中仅仅求偶一次，所以这种注射不会引起其它附加的反应。

　　　　新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁。但是其后的存活率很高，要超过95%，并且这个存活率对各个年龄段都是相同的，一直到60岁左右。假定象的最高年龄是70岁，由于在这个公园里不可以狩猎，偷猎也微乎其微。

　　　　公园有一个近两年内从这个地区运出的象的大致年龄和性别的统计（见表）。但是没有这个公园里的被射杀的和被留下的象的任何可用的数据。

　　　　现在的任务是：

　　　　（1）探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大象群落的当前的年龄结构。

　　　　（2）估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象群固定在11000头左右。这里不免有些不确定性，也要估计这种不确定性的影响。

　　　　（3）假如每年转移50头到300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变？

　　　　（4）如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一场灾难导致大量象的死亡），那时重新壮大象群的能力如何？

　　　　前一年的情况 前两年的情况

　　　　年龄 象的头数 母象头数 年龄 象的头数 母象头数 年龄 象的头数 母象头数 年龄 象的头数 母象头数

　　　　1 0 0 31 3 0 1 0 0 31 13 7

　　　　2 0 0 32 5 2 2 20 10 32 16 12

　　　　3 0 0 33 8 5 3 21 12 33 13 6

　　　　4 3 2 34 12 3 4 13 3 34 10 6

　　　　5 4 1 35 10 4 5 12 5 35 10 0

　　　　6 7 2 36 3 1 6 13 4 36 12 8

　　　　7 20 10 37 7 3 7 22 4 37 16 5

　　　　8 9 2 38 14 2 8 14 7 38 12 2

　　　　9 15 7 39 10 0 9 40 21 39 10 4

　　　　10 9 3 40 16 12 10 14 8 40 12 6

　　　　11 22 12 41 21 11 11 26 10 41 19 10

　　　　12 3 1 42 13 4 12 13 10 42 13 7

　　　　13 23 13 43 10 6 13 14 4 43 24 10

　　　　14 5 2 44 12 4 14 27 12 44 17 10

　　　　15 13 6 45 6 4 15 3 1 45 16 4

　　　　16 21 10 46 3 2 16 14 3 46 25 12

　　　　17 0 0 47 6 0 17 12 8 47 12 3

　　　　18 22 12 48 9 3 18 20 10 48 45 23

　　　　19 14 6 49 13 2 19 25 11 49 23 12

　　　　20 5 4 50 10 4 20 17 14 50 34 10

　　　　21 13 7 51 3 1 21 14 10 51 13 9

　　　　22 10 5 52 6 4 22 10 7 52 16 4

　　　　23 0 0 53 21 11 23 0 0 53 10 4

　　　　24 13 5 54 15 6 24 2 0 54 17 7

　　　　25 30 12 55 4 1 25 3 0 55 13 3

　　　　26 14 6 56 13 4 26 4 2 56 13 6

　　　　27 12 5 57 10 5 27 4 2 57 12 3

　　　　28 0 0 58 32 12 28 3 1 58 3 2

　　　　29 20 10 59 14 8 29 2 1 59 22 11

　　　　30 6 5 60 0 0 30 3 0 60 20 10

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目28：平稳着陆

　　　　 一个飞行后返回地面的飞行体S是半径为 的球体，质量为 ，在飞行过程中，S的形状和质量不变，并只靠其初速度继续惯性飞行。请给一个使S尽快软着陆（即垂直向下的速度不超过2米／秒）的方案。

　　　　只讨论方案的力学问题，不讨论有关技术问题（即只考虑措施的力学效果），忽略地球自转的影响，并认为地面是平面。

　　　　S着陆过程的初始状态：

　　　　选取坐标系为原点O在地面上，右手系，OX轴指向正东，OY轴与地面垂直；

　　　　S距地面的高度为20公里， =1.45米， =1050公斤；

　　　　S的初速度

　　　　 米／秒， 米／秒，

　　　　西南风，5级；

　　　　地表附近气温为15oC。

　　　　请按给定数据计算S的速度和轨道。

　　　　若个别有关参数查不到，可自行取定一个适当的值。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目29：服装的加工与销售随机优化问题

　　　　某服装加工公司欲做一批冬装出售，每件冬装的成本费用不确切，估计如下：

　　　　已知该服装的销售量与定价有关，而与单件成本无关。当定价为19、20、21、22元时，各种销售量数字的概率为：

　　　　单件成本 7 8 9 10 11 12

　　　　概率 0.05 0.15 0.20 0.30 0.25 0.05

　　　　销售量

　　　　概率

　　　　定价

　　　　500

　　　　600

　　　　700

　　　　800

　　　　900

　　　　19

　　　　20

　　　　21

　　　　22 0.05

　　　　0.10

　　　　0.20

　　　　0.12 0.15

　　　　0.30

　　　　0.25

　　　　 0.38 0.40

　　　　0.30

　　　　0.35

　　　　0.36 0.25

　　　　0.20

　　　　0.15

　　　　0.09 0.15

　　　　0.10

　　　　0.05

　　　　0.05

　　　　当加工件数多于销售件数时，每件处理价为5元。

　　　　（1）试建立一般数学模型，确定冬装的加工件数与定价，使利润最大。

　　　　（2）针对实例，计算该公司冬装的加工件数与定价，使利润最大。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目30：垃圾运输问题

　　　　 某城区有36个垃圾集中点，每天都要从垃圾处理厂（第３７号节点）出发将垃圾运回。现有一种载重 6吨的运输车。每个垃圾点需要用１０分钟的时间装车，运输车平均速度为40公里／小时（夜里运输，不考虑塞车现象）；每台车每日平均工作 4小时。运输车重载运费1.8元/吨公里；运输车和装垃圾用的铲车空载费用0.4元/公里；并且假定街道方向均平行于坐标轴。请你给出满意的

　　　　运输调度方案以及计算程序。

　　　　问题： 1. 运输车应如何调度（需要投入多少台运输车，每台车的调度方案，运营费用）

　　　　2. 铲车应如何调度（需要多少台铲车，每台铲车的行走路线，运营费用）

　　　　3. 如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，又如何调度？

　　　　垃圾点地理坐标数据表

　　　　序号 站点

　　　　编号 垃圾量T 坐标(km) 序号 站点

　　　　编号 垃圾量T 坐标(km)

　　　　 x y x y

　　　　1 1 1.50 3 2 20 15 1.40 19 9

　　　　2 2 1.50 1 5 21 32 1.20 22 5

　　　　3 3 0.55 5 4 22 22 1.80 21 0

　　　　4 4 1.20 4 7 23 23 1.40 27 9

　　　　5 6 0.85 0 8 24 24 1.60 15 19

　　　　6 5 1.30 3 11 25 25 1.60 15 14

　　　　7 7 1.20 7 9 26 26 1.00 20 17

　　　　8 8 2.30 9 6 27 27 2.00 21 13

　　　　9 9 1.40 10 2 28 28 1.00 24 20

　　　　10 10 1.50 14 0 29 29 2.10 25 16

　　　　11 11 1.10 17 3 30 30 1.20 28 18

　　　　12 12 2.70 14 6 31 31 1.90 5 12

　　　　13 13 1.80 12 9 32 21 1.30 17 16

　　　　14 14 1.80 10 12 33 33 1.60 25 7

　　　　15 20 0.60 7 14 34 34 1.20 9 20

　　　　16 16 1.50 2 16 35 35 1.50 9 15

　　　　17 17 0.80 6 18 36 36 1.30 30 12

　　　　18 18 1.50 11 17 37 37 0.00 0 0

　　　　19 19 0.80 15 12

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目31：电站建设问题

　　　　某地区在制定十年电力发展规划时遇到这样一个问题：根据电力需求预测得知，该地区在十年后发电装机容量需要增加180万千瓦，那时的年发电量需要增加100亿度。根据调查和讨论，电力规划的备选技术方案有三个：扩建原有的火电站，但最多只能再安装五台10万千瓦的发电机组；新建水电站，但最多只能安装四台25万千瓦的发电机组；或再新建一个火电站，最多只能安装四台30万千瓦的发电机组。通过调研和计算，获得有关的参数如表1所示。

　　　　表中负荷因子为全年满功率运行天数与全年总天数之比。根据该地实际调查原有火电站平均全年满功率运行天数为241天，水电站和新建的火电站应分别为146天和255天，而全年365天，故折算得表中数据。表中资本回收因子是由如下数据所确定的，火电站的回收年限取15年，年利息率为0．06；水电站的回收年限取30年，年利息率为0．04，即得表中所列数值。

　　　　请在满足上述技术要求的前提下，选取经济效果最优的建设方案。

　　　　1．原来的火电站应如何扩建？

　　　　2．新建的水电站应如何确定单机容量为25万千瓦的发电机组的数量？

　　　　3．新建的火力发电站应如何确定单机容量为30万千瓦的发电机组的数量？

　　　　表1 :备选技术方案参数表

　　　　 工程投资 单机容量（万千瓦） 允许装机台数 资本回收因子 年运行成本（百万元/亿度） 负荷因子

　　　　备选方案 工程特点 前期工程投资（百万元） 单机设备投资（百万元）

　　　　1 扩建旧火电站 21 10 5 0．103 4．11 0．66

　　　　2 新建水电站 504 70 25 4 0．0578 2．28 0．4

　　　　3 新建火电站 240 65 30 4 0．103 3．65 0．7

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目32：飞机的降落曲线

　　　　在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线。如下图所示，已知飞机的飞行高度为h，飞机的着陆点为原点O，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u。出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g／10，此处g是重力加速度。

　　　　（1）若飞机从 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线；

　　　　（2）求开始下降点 所能允许的最小值。

　　　　 y

　　　　 u

　　　　 h

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目33：杂技项目中碰撞问题

　　　　某杂技团刻意求新，在海滨城市演出时，利用当地靠海的条件，设计了一个惊险节目：在离海边9米的沙滩上，建一个10米高台，高台下5米处放置一个弹性极佳的斜面（如下图），斜面与水平面成450角。演员从高台上团身跳下，经与斜面碰撞后将其弹到海里。不知此方案是否可行?

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目34：污水处理问题

　　　　如下图，有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居民点。工厂1上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用为已知。处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数，该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。

　　　　 工厂1 工厂2 工厂3

　　　　 处理站1 处理站2 处理站3

　　　　 江水

　　　　 居民点1 居民点2 居民点3

　　　　先建立一般的数学模型，再求解以下的具体问题：

　　　　设上游江水流量为1000×1012l/min，污水浓度为0.8mg/l，三个工厂的污水流量均为5×1012l/min，污水浓度（从上游到下游排列）分别为100，60，50（mg/l），处理系数均为1万元/（（1012 l/min）×(1mg/l)），3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9，0.6。国家标准规定的污染浓度不超过1mg/l。

　　　　（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

　　　　（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费

　　　　用？

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目35：草原鼠患问题

　　　　在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。

　　　　老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，每年都得在洞内外囤积大量牧草。以一个大沙鼠的洞为例，里面经常囤草25—40公斤之多。而且，老鼠的繁殖力强，在自然界堪称独一无二。老鼠对草原危害最大的莫过于它们挖掘洞穴的习性。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方，洞道纵横，水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。

　　　　更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。就像有句名言所说的那样：大自然不可以被模仿和重复。而这才是我们之所以对鼠害之类忧心忡忡的真正原因。那么，我们还能做些什么呢？也许只有不停地灭鼠种草了。有科学家说，人类自打开始灭鼠的第一天起，就背上了一个日益沉重的包袱。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。

　　　　控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法:

　　　　(1) 灭鼠药 现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。

　　　　(2) 引入老鼠的天敌 通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等， 将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。

　　　　(3) 人工种植牧草 鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。

　　　　任务1、建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；

　　　　任务2、对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的建议；

　　　　任务3、通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目36：洗盘子问题

　　　　 在家里,每天做饭后总会有一大堆油腻腻的盘子需要清洗,为清洗这些盘子,你准备了一大盆热的肥皂水,热水的温度足够洗掉盘子上的油腻而不烫手,随着洗涤过程的继续,盆中的水会漫漫地冷下来,一直到无法在清洗这些盘子,假设每个盘子重0.5KG,盆内水重15千克,盆内最初温度是60度最终无法清洗盘子的温度是40度,盆内水的表面积是0.1平方米,空气温度是20度,试建立模型分析使用这盆热水可以洗多少个盘子,已知盘子的热容量是600焦耳/千克,水的热容量是4200焦耳/千克,水到空气的热传导系数是100焦耳/米*秒

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目37：企业季度生产计划问题

　　　　某厂甲、乙两种产品，第一季度的最大需求量及单位产品利润和每月的库存成本如表1所示。

　　　　表1 产品需求量、利润及库存成本

　　　　 需求量 利润

　　　　（未计库存成本）

　　　　（元/单位产品） 每月库存成本

　　　　（元/单位产品）

　　　　 一月 二月 三月

　　　　甲产品 250 540 生产700 3.0 0.2

　　　　乙产品 180 150 700 4.5 0.3

　　　　生产这两种产品都必须经过由两道工序，分别使用A、B两类机器。A类机器有4台，B类机器有5台，每台机器每月运转180工时。生产单位甲产品需机器A0.9工时，机器 B1.0工时；生产单位乙产品需机器A0.5工时，机器B0.75工时。

　　　　该厂仓库容量为100平方米，存贮每单位甲产品需占面积0.75平方米，每单位乙产品需占面积1.2平方米。该季度开始时无库存量，计划在本季度结束时甲、乙两种产品各库存40单位。分别求解以下两个问题：

　　　　（1）假定一月和二月A、B两类机器各有一台检修，三月份有一台A类机器和两台B类机器检修，A类机器检修需100工时，B类机器检修需150工时。该厂应如何安排生产计划，才能使本季度获利最大？

　　　　（2）规定A、B类机器在本季度内需检修的总台数同（1），确定合理的检修计划，使该厂在本季度获利最大？

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目38：建立一个合理的检验正次品的模型

　　　　某工件为圆形, 半径为10mm 0.1mm, 超出此范围即为次品. 测量仪器自动在每个工件的圆周上测量36个数据. 假定测量出的二维数据 ( , ) 是足够精确的, 要求建立一个合理的检验正/次品的模型, 对每个工件的36个数据进行计算后给出判断。

　　　　下面是5个工件的测量文件, 存放顺序为

　　　　其中( , )表示第 个工件第 个测量数据 (1 5, 1 36)。如第一个工件中 = 31.270, = 34.290, = 31.227, = 36.554, ……, = 30.964, = 31.517, = 31.105, = 32.743。

　　　　第一个工件

　　　　31.270 34.290 31.227 36.554 30.660 38.205

　　　　30.276 39.375 29.134 40.928 27.808 42.317

　　　　26.078 43.503 24.928 43.922 22.922 44.478

　　　　21.188 44.713 19.454 44.459 18.096 44.126

　　　　16.016 43.195 14.963 42.265 13.513 40.770

　　　　12.954 39.891 11.957 38.060 11.578 36.186

　　　　11.420 34.289 11.555 32.551 12.162 30.919

　　　　12.732 29.450 13.963 27.973 14.615 27.141

　　　　16.495 25.853 17.972 25.318 19.971 24.728

　　　　21.712 24.648 23.274 24.806 24.441 25.166

　　　　26.647 26.181 27.860 27.163 28.981 28.244

　　　　30.202 29.937 30.964 31.517 31.105 32.743

　　　　第二个工件

　　　　 －32.303 18.082 －32.496 19.968 －32.622 21.015

　　　　 －33.623 23.257 －34.561 24.304 －35.930 25.629

　　　　 －37.209 26.523 －38.462 27.116 －40.631 27.703

　　　　 －42.182 27.989 －44.273 27.749 －45.736 27.168

　　　　 －47.117 26.457 －48.935 25.409 －49.970 24.216

　　　　 －50.902 22.743 －51.420 21.642 －52.157 19.489

　　　　 －52.230 18.260 －52.090 16.517 －51.594 14.296

　　　　 －50.731 12.772 －49.686 11.152 －48.322 10.049

　　　　 －47.117 26.457 －45.783 8.528 －44.249 8.184

　　　　 －42.529 7.963 －40.278 8.116 －39.064 8.313

　　　　 －36.870 9.408 －35.540 10.533 －34.761 11.227

　　　　 －33.576 12.738 －32.880 14.151 －32.407 16.009

　　　　第三个工件

　　　　 －14.711 2.000 －14.761 3.401 －15.317 5.612

　　　　 －16.053 7.212 －17.346 8.646 －18.274 9.691

　　　　 －19.731 10.653 －21.289 11.446 －23.158 11.910

　　　　 －24.552 12.068 －26.627 11.773 －28.488 11.307

　　　　 －29.711 10.633 －31.135 9.636 －32.483 8.281

　　　　 －33.318 7.368 －34.007 5.562 －34.685 3.577

　　　　 －34.629 2.346 －34.526 －0.083 －33.938 －1.721

　　　　 －33.252 －3.327 －32.678 －4.212 －31.481 －5.501

　　　　 －29.447 －6.877 －27.990 －7.476 －26.819 －7.840

　　　　 －25.080 －8.114 －22.826 －7.779 －21.278 －7.476

　　　　 －19.723 －6.667 －18.537 －5.923 －17.294 －4.693

　　　　 －16.228 －3.107 －15.293 －1.434 －14.920 0.447

　　　　第四个工件

　　　　 13.873 －37.357 13.651 －35.092 13.164 －33.406

　　　　 12.605 －32.311 11.671 －31.046 10.304 －29.452

　　　　 8.537 －28.306 7.097 －27.660 5.903 －27.375

　　　　 3.993 －27.143 1.924 －27.436 0.103 －27.986

　　　　 －1.153 －28.572 －2.857 －29.768 －3.856 －30.742

　　　　 －4.972 －32.508 －5.387 －33.463 －6.138 －35.605

　　　　 －6.192 －36.832 －6.045 －39.278 －5.671 －40.265

　　　　 －4.835 －42.178 －3.985 －43.278 －2.810 －44.543

　　　　 －1.430 －45.581 0.533 －46.722 2.434 －47.033

　　　　 4.165 －47.100 5.570 －47.115 6.936 －46.778

　　　　 8.776 －45.769 10.028 －45.130 11.382 －43.757

　　　　 12.243 －42.446 13.147 －40.763 13.517 －39.243

　　　　第五个工件

　　　　 27.356 6.440 27.205 7.650 26.732 9.317

　　　　 26.278 10.831 25.318 12.305 24.111 13.585

　　　　 22.316 14.668 21.077 15.283 18.740 15.885

　　　　 17.017 16.019 15.642 15.852 14.253 15.664

　　　　 12.237 14.623 11.060 13.875 9.972 12.746

　　　　 8.607 10.945 8.118 9.826 7.527 8.182

　　　　 7.377 6.265 7.604 4.016 8.079 2.712

　　　　 8.873 0.785 9.664 －0.144 11.159 －1.851

　　　　 12.388 －2.528 13.949 －3.291 15.439 －3.810

　　　　 17.190 －3.830 19.095 －3.726 21.112 －3.186

　　　　 22.475 －2.416 23.771 －1.545 24.813 －0.384

　　　　 26.163 1.412 26.794 3.027 27.149 4.011

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目39 工件加工的排序问题

　　　　计划排序问题中的车间作业问题，研究n个工件在m台机器上有序的加工问题，每个工件都有完工的日期（DD，Due date）,加工的时间（PT，Processing time）和工件的价值（VAL，Value if job is selected）.车间作业计划研究一个工厂生产工序的计划和安排，需要计划与合理安排各个工件在这些机器上加工的先后次序，即拟订加工工序，通过各个工件在各种机器上加工次序的合理安排，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省（注：总时间即为各个零件的加工时间和加工其他零件时它们等待时间之和）或要求整个选择加工的工件价值最大。

　　　　有一个工厂现在有12种工件（编号为工件1，工件2，…，工件12）需要在车床，钻床，铣床几种不同的设备上加工。考虑下面的工件加工的排序问题：

　　　　(一) 这12种工件都要求在车床上加工，车床一次只能加工一种工件，这12种工件加工所需时间，每个工件的完工时间和每个工件的价值如表（1）所示：

　　　　工件 加工时间（h） 完工时间(h) 工件价值

　　　　1 2.8 9 8

　　　　2 3.2 7.5 4

　　　　3 1.2 15 16

　　　　4 4 23 3

　　　　5 2.7 10 7

　　　　6 0.9 22 20

　　　　7 2.5 17 17

　　　　8 3.3 33 11

　　　　9 1.7 7 7

　　　　10 2.5 18 12

　　　　11 3.6 25 5

　　　　12 4.7 11 18

　　　　表（1）

　　　　1) 不考虑工件的完工时间和工件的价值，为该工厂安排工件加工的次序，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。建立数学模型并给出相应的算法。

　　　　2) 由于工件必须在它们要求的时间内完工，按照表（1）的数据，为该工厂安排选择加工工件的种类及加工的次序，使得整个选择加工的工件价值最大。建立数学模型并给出相应的算法。

　　　　(二) 如果这12种工件都要求先在车床上加工，然后再在钻床上加工（即工件在钻床加工之前必须先在车床上加工过），每种机器一次只能加工一种工件，这12种工件加工所需时间如表（2）所示：

　　　　 工件 车床加工时间（h） 钻床加工时间(h)

　　　　1 2.8 4

　　　　2 3.2 1.3

　　　　3 1.2 1.8

　　　　4 4 2.2

　　　　5 2.7 3

　　　　6 0.9 4.5

　　　　7 2.5 1.7

　　　　8 3.3 2.5

　　　　9 1.7 4.5

　　　　10 2.5 2.5

　　　　11 3.6 3.8

　　　　12 4.7 1.9

　　　　 表（2）

　　　　为该工厂安排工件加工的次序，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。建立数学模型并给出相应的算法。

　　　　(三) 如果这12种工件都要求先在车床上加工，然后再在钻床上加工，最后再在铣床上加工，每种机器一次只能加工一种工件，这12种工件加工所需时间如表（三）所示：

　　　　工件 车床加工时间（h） 钻床加工时间(h) 铣床加工时间(h)

　　　　1 2.8 4 3

　　　　2 3.2 1.3 1

　　　　3 1.2 1.8 2.5

　　　　4 4 2.2 1.3

　　　　5 2.7 3 1.8

　　　　6 0.9 4.5 2

　　　　7 2.5 1.7 3.6

　　　　8 3.3 2.5 0.8

　　　　9 1.7 4.5 1

　　　　10 2.5 2.5 1.1

　　　　11 3.6 0.9 1.3

　　　　12 4.7 1.9 0.7

　　　　表（3）

　　　　为该工厂安排工件加工的次序，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。建立数学模型并给出相应的算法。

　　　　对于上述问题你做出的数学模型和相应的算法给出评价。并将模型推广到n个工件在m台机器上加工的一般的工件排序问题，给出你的想法和解决问题的思路。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目40 一个游击战问题

　　　　战争作为人性的负面总是伴着社会的发展，它是一个复杂的问题，涉及兵员、武器、地理、士气、指挥艺术，后勤、气候等等的综合作用。这样的模型一般是很难建立的。但在一定合理假设的条件下，还是可以近似建模的。

　　　　 比如说解放区的抗日战争，日军凭借人数、武器和资源等的优势，常常对人民武装进行打击、扫荡。而人民军他总是凭借自己的地利优势，群众基础、灵活机动等来抗击敌人的打击，从而牵制和消灭敌人。假设有一次，由于叛徒的出卖。日军获知一支人数为 400人的游击队在某一个面积为60平方公里的山区活动。于是派出了人数为900人的部队分三路进行包围打击。游击队在敌人进攻前也得到了敌人要来的情报。于是研究组织了应敌之策。

　　　　 假设你是一个指挥员或作战参谋，请你分析建立一个模型，来预测这次战斗，我方人员能否摆脱敌人的包围，设计一个方案使我方能有效地打击敌人。

　　　　【设计任务】

　　　　• 建立微分方程模型（参考战争预测等微分方程模型）；

　　　　• 求解模型的解析解或者数值解（如果可行的化，求解析解可以自己推导或者借助 matlab 符号求解函数；求数值解可以通过数值分析算法进行或者调用 mtlab 函数 ode 系列函数）；

　　　　• 画出图形进行直观的分析和展示；

　　　　• 写出论文。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目41 确定肥猪的最佳销售时机

　　　　 一般从事猪的饲养和销售总希望获得利润，因此饲养某种猪是否获利，怎样获得最大利润，是饲养者必须考虑的问题。如果把饲养技术水平，猪的性质等因素看成不变的，且不考虑市场的需求变化，那么影响获利大小的一个主要因素是如何选择猪的售出时机，即何时把猪卖出获利最大。也许有人认为，猪养的越大，售出后获利愈大，其实不然，因为随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用也就愈多，但同时其体重的增长速度却不断下降，所以饲养时间过长是不合算的。

　　　　考虑某个品种猪的最佳销售时机的数学模型。

　　　　【设计任务】

　　　　• 分析问题，并搜集资料和数据

　　　　• 建立饲料消耗模型

　　　　• 建立肥猪的生长模型

　　　　• 建立确定最优化模型（可以以利润最大化作为优化目标，看看还有没有其他思路）

　　　　• 建立其他需要的模型

　　　　选用合理的数据求解模型；可能用到的 Matlab 函数有：符号工具箱，最优化工具箱函数，作图函数等等。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目42 渡口模型

　　　　【问题提出】

　　　　 一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长 32 米，可以并排停放两列车辆的渡船。他正在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置，才能安全地运过最多数量的车辆，并关心一次可以运多少辆车，其中有多少小汽车，多少卡车，多少摩托车，他观察了数日，发现每次情况不尽相同，但他得到下列数据和情况：

　　　　（1）车辆随机到达，形成一个等待上船的车列。

　　　　（2）来到渡口的车辆中，轿车占 40 ％，卡车占 55 ％，摩托车占 5 ％

　　　　（3）轿车车身长为 3.5 ～ 5.5 米，卡车车身长为 8 ～ 10 米。

　　　　 这是一个遵循“先到先服务”的随机排队问题，涉及到排队论的基本知识。这里试着用一个模拟模型解决船主的问题，主要是给出解决问题的思路。

　　　　【设计任务】

　　　　请考虑以下问题：

　　　　• 应该怎样安排摩托车？

　　　　• 怎样描述了一辆车的车身长度？

　　　　• 到达的车要加入甲板上两列车队的哪一列中去？

　　　　• 如何考虑“安全”问题？

　　　　请就以上问题建立数学模型，最终保证安全，并运用计算机进行模拟车辆到达、安排停车过程。

　　　　数学模型课程设计

　　　　题目43 超市收费系统

　　　　• 目的与意义；

　　　　• 练习模拟模型的建立过程；

　　　　• 进一步熟悉模拟算法的设计、编程问题。

　　　　• 要求；

　　　　• 熟练应用 Matlab的随机变量的模拟函数；

　　　　• 加强离散系统模拟算法的分析和设计训练；

　　　　• 提高 Matlab的编程应用技能。

　　　　 一小超级市场有 4 个付款柜，每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费时1s），20%的顾客用支票或信用卡支付，这需要1.5min，付款则仅需0.5min 。有人倡议设一个快速服务台专为购买8个或8个以下商品的顾客服务，指定另外两个为“现金支付柜”。

　　　　请你建立一个模拟模型，用于比较现有系统和倡议的系统的运转。假设顾客到达平均间隔时间是 0.5min ，顾客购买商品件数按如下频率表分布。

　　　　件数

　　　　9~19 20~29 30~39 40~49

　　　　相对频率 0.12 0.10 0.18 0.28 0.20 0.12

　　　　【设计任务】

　　　　根据题目要求建立模型并求解。